Khả vi, Vi phân toàn phần
& Đạo hàm Hàm hợp, Hàm ẩn

1 Kiến thức nền tảng

Trước khi bắt đầu, hãy chắc chắn bạn đã quen thuộc với những thứ này:

• 📌
  Đạo hàm riêng (Partial Derivatives) — Bạn đã biết cách tính $f_x$ và $f_y$ cho hàm $z = f(x,y)$, hiểu ý nghĩa hình học của chúng (độ dốc theo từng hướng trục).
• 📌
  Tiếp tuyến và xấp xỉ tuyến tính 1 biến — Với hàm 1 biến, bạn biết rằng $f(a+\Delta x) \approx f(a) + f'(a)\Delta x$ khi $\Delta x$ nhỏ, và đường tiếp tuyến "ôm sát" đồ thị tại điểm tiếp xúc.
• 📌
  Đạo hàm hàm hợp 1 biến (Chain Rule) — Nếu $y = f(g(x))$ thì $\frac{dy}{dx} = f'(g(x))\cdot g'(x)$. Bạn thoải mái với ý tưởng "đạo hàm ngoài nhân đạo hàm trong".
• 📌
  Phương trình ẩn 1 biến — Bạn đã từng gặp việc một phương trình như $x^2 + y^2 = 1$ xác định $y$ theo $x$ mà không cần giải tường minh.

2 Ta đang hướng tới điều gì?

Nhưng đó mới chỉ là phần "xấp xỉ". Module này còn trang bị cho bạn hai kỹ năng nữa:

• 🔗 Quy tắc xích — khi các biến liên kết với nhau qua nhiều tầng (ví dụ: nhiệt độ phụ thuộc vào áp suất, áp suất phụ thuộc vào độ cao), làm sao tính tốc độ thay đổi xuyên qua chuỗi đó?
• 🕵️ Đạo hàm hàm ẩn — khi bạn có một phương trình ràng buộc giữa các biến (như $x^3 + y^3 = 6xy$) mà không thể giải ra $y$ tường minh, làm sao tìm $\frac{dy}{dx}$?

3 Bệ đỡ tư duy: Xấp xỉ tuyến tính 1 biến

Bạn nhớ chứ? Với hàm 1 biến $y = f(x)$, khi ta "nhúc nhích" biến $x$ từ $a$ đến $a + \Delta x$ một khoảng nhỏ, giá trị hàm thay đổi:

$$\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a) \approx f'(a) \cdot \Delta x$$

Phần $f'(a) \cdot \Delta x$ chính là vi phân $dy$ — nó nói rằng: "nếu đường tiếp tuyến thay đồ thị nói chuyện, thì hàm thay đổi khoảng $f'(a) \cdot \Delta x$."

Ý tưởng cốt lõi ở đây là: đường tiếp tuyến là "phiên bản đơn giản nhất" của hàm số quanh một điểm. Khi $\Delta x$ nhỏ, nó xấp xỉ rất tốt. Khi $\Delta x$ lớn, nó bắt đầu "lạc" khỏi đồ thị thực.

Bây giờ câu hỏi tự nhiên: Nếu hàm có hai biến — một mặt cong trong không gian 3D thay vì một đường cong trên mặt phẳng — thì "đường tiếp tuyến" trở thành cái gì? Và "vi phân" sẽ trông như thế nào?

4 Hình thành kiến thức mới

4.1 Từ đường tiếp tuyến lên... mặt phẳng tiếp xúc

Với hàm 1 biến, xấp xỉ tốt nhất tại một điểm là đường tiếp tuyến (1 chiều). Với hàm 2 biến $z = f(x,y)$, đồ thị là một mặt cong trong không gian 3D. Xấp xỉ tốt nhất tại một điểm sẽ là... đúng rồi, một mặt phẳng tiếp xúc (2 chiều).

Hình dung thế này: bạn đặt một tấm kính phẳng lên trên một quả đồi tại đúng vị trí bạn đang đứng. Tấm kính đó chạm mặt đồi tại điểm đó và "ôm" sát địa hình xung quanh — đó là mặt phẳng tiếp xúc.

Phương trình mặt phẳng tiếp xúc tại $(a,b,f(a,b))$ là:

$$z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)$$

Thấy quen không? Nó giống hệt công thức xấp xỉ tuyến tính 1 biến $y \approx f(a) + f'(a)(x-a)$, chỉ là bây giờ ta có hai hướng dốc thay vì một.

4.2 Nhưng khoan — khi nào thì mặt phẳng tiếp xúc tồn tại?

Đây là câu hỏi then chốt. Với hàm 1 biến, điều kiện đơn giản: hàm khả vi tại $a$ (đạo hàm tồn tại) thì có tiếp tuyến. Nhưng với hàm 2 biến, mọi thứ tinh tế hơn nhiều.

Hãy nghĩ về nó theo cách này: khi ta nói hàm $z = f(x,y)$ khả vi tại $(a,b)$, ta đang nói rằng:

Nói chặt chẽ hơn, $f$ khả vi tại $(a,b)$ nếu:

$$\Delta z = f_x(a,b)\Delta x + f_y(a,b)\Delta y + \varepsilon_1 \Delta x + \varepsilon_2 \Delta y$$

trong đó $\varepsilon_1, \varepsilon_2 \to 0$ khi $(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)$.

Phần $f_x\Delta x + f_y\Delta y$ là phần xấp xỉ tuyến tính (mặt phẳng tiếp xúc nói gì). Phần $\varepsilon_1\Delta x + \varepsilon_2\Delta y$ là sai số — và yêu cầu $\varepsilon_1, \varepsilon_2 \to 0$ đảm bảo sai số này "chìm" nhanh hơn khoảng cách di chuyển.